ルート入れ子(続き)

  a[n] = (2 * a[n-1])^0.5
(1) n >= 1 のとき、常に 1 < a[n] < 2
  (i ) n = 1 で a[1] = 2^0.5
  (ii) n >= 1 で 1 < a[n] < 2 を仮定すると 2^0.5 < a[n+1] < 2 なので 1 < a[n+1] < 2
  帰納的に 1 < a[n] < 2 は正しい
(2) n > 1 のとき、常に a[n] > a[n-1]
  a[n]^2 - a[n-1]^2 = 2 * a[n-1] - a[n-1] = a[n-1] * (2 - a[n-1])
  (1)から a[n-1] * (2 - a[n-1]) > 0 は明らか
(1)(2)から 1<a[1]<a[2]<a[3]<...<a[n]<2
n→∞ で 2に収束する？

なんか違う。これでいいらしい？